درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف

در مثال حوضچهٔ ماهی، هر ماهی درون حوضچه یک واحد آماری است. به کل ماهی‌های حوضچه جامعه گفته می‌شود. اگر وزن تک‌تک ماهی‌ها را در اختیار داشته باشیم داده‌های جامعه را داریم. وزن نمونهٔ 5 ماهی از قسمت کم‌عمق، معرف داده‌های یک نمونهٔ پنج‌تایی است. اگر 5 ماهی با یک روش تصادفی از حوضچه استخراج شود، عملاً یک نمونهٔ تصادفی پنج‌تایی از حوضچه در اختیار داریم.

1- مشاهده: گردآوری داده‌ها بدون نیاز به فرد پاسخگو، مانند شمارش تعداد وسایل نقلیهٔ عبوری از یک تقاطع در هر ساعت یا اندازه‌گیری وزن محصولات یک باغ میوه.

2- پرسش‌نامه: مجموعهٔ سؤالات از پیش تعیین‌شده که توسط تعدادی پاسخگو تکمیل می‌شود. این روش مرسوم‌ترین ابزار گرفتن اطلاعات از مردم است. مرکز آمار ایران هر 10 سال یک‌بار با استفاده از پرسش‌نامه اطلاعات همهٔ خانوارهای ساکن در ایران را جمع‌آوری می‌کند. به این فرایند، سرشماری نفوس و مسکن می‌گوییم.

3- مصاحبه: معمولاً بین دو نفر صورت می‌گیرد، یکی مصاحبه‌گر (همان آمارگیر) و دیگری مصاحبه‌شونده یا پاسخگو است. مثلاً اگر بخواهیم دربارهٔ مسائل فرهنگی کاهش ترافیک پژوهش کنیم، مصاحبه از صاحب‌نظران راه‌حل مناسبی برای گردآوری داده‌هاست. از این روش، بیشتر زمانی استفاده می‌شود که آمارگیر اطلاع کافی از همهٔ پاسخ‌های ممکن را ندارد.

4- دادگان‌ها: شامل مجموعه‌ای از اطلاعات ذخیره شده‌اند. در بسیاری از موارد، داده‌ها را می‌توان از اطلاعاتی که قبلا ذخیره شده‌اند، به‌دست آورد. اگر قرار است تحقیقی در مورد نمره‌های دروس ریاضی استان‌ها انجام شود، اطلاعات ثبتی اداره کل آموزش و پرورش راه‌گشا خواهد بود. از سوی دیگر به‌دلیل تولید داده‌ها به‌صورت خودکار، در بسیاری از مؤسسات و سامانه‌ها، استفاده از این روش برای گردآوری داده‌ها به‌سرعت رواج یافته است.

در مثال کوهنوردان دنا، سن، وزن، قد و درآمد یک کوهنورد، متغیرهای کمّی هستند. متغیّرهای کیفی معمولاً از نوع مشاهدات غیر عددی‌اند و در مثال کوهنوردان دنا، جنسیت و ملّیت را دربر می‌گیرند. به‌عنوان مثال، جنسیت برای دسته‌بندی افراد به مرد و زن استفاده می‌شود.

پارامتر جامعه: یک مشخصهٔ عددی است که توصیف کنندهٔ جنبه‌ای خاص از جامعه است و در صورتی‌که داده‌های کل جامعه در اختیار باشند قابل محاسبه است. مثلاً اگر داده‌های مربوط به تک تک کوهنوردان را داشته باشیم، یعنی به داده‌های جامعه دسترسی داریم. نسبت مردان در کل جامعهٔ کوهنوردان، معرف یک پارامتر است.

اگر داده‌های بعضی از کوهنوردان را داشته باشیم؛ یعنی داده‌های نمونه را در اختیار داریم. نسبت مردانِ کوهنورد به این داده‌های نمونه‌ای را، آماره (مقدار آماره) گویند. آماره‌ها از یک نمونه به نمونهٔ دیگر تغییر می‌کنند. این در حالی است که پارامترهای جامعه همیشه ثابت‌اند. چرا؟

در بسیاری از موارد، آمارگیری از کل جامعه امکان‌پذیر نیست. بنابراین علی‌رغم اینکه پارامتر دارای مقدار ثابتی است، این مقدار مجهول است و به همین دلیل از آماره‌ها برای تخمین پارامترها استفاده می‌کنند.

آمارهٔ نمونه: مشخصه‌ای عددی که توصیف کنندهٔ جنبه‌ای خاص از نمونه است و از داده‌های نمونه به‌دست می‌آید.

مثال: ادارهٔ کشاورزی استان خوزستان در حال ارزیابی هندوانه‌های آمادهٔ برداشت است. در این بررسی، هندوانه‌ها همان واحدهای آماری هستند. اگر پژوهش‌گران وزن هندوانه‌ها را مورد بررسی قرار دهند، متغیر، «وزن» آنهاست. وزن یک متغیر کمّی است، زیرا با مقادیر عددی ارائه می‌شود. اگر وزن تک‌تک هندوانه‌های این زمین بررسی شود، سرشماری از جامعه انجام داده‌ایم (که امکان‌پذیر نیست). متوسط وزنِ همهٔ هندوانه‌های قابل برداشت در این زمین، «پارامتر» است.

حال فرض کنیم پژوهش‌گران تصمیم دارند بر اساس معیار «مزه» هندوانه‌ها را مورد بررسی قرار دهند. در این حالت، مزهٔ هندوانه‌ها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد: بد، قابل قبول و خوب. حال که می‌خواهیم مزهٔ هندوانه‌ها را امتحان کنیم، مطالعه به بخشی از کل هندوانه‌ها محدود می‌شود. در اینجا «مزه» متغیری کیفی است. از آنجا که نمی‌توانیم همهٔ هندوانه‌ها را مزه‌مزه کنیم، فقط بخشی از هندوانه‌ها مورد مطالعه قرار می‌گیرند؛ پس باید «نمونه» بگیریم. نسبت هندوانه‌های دارای مزهٔ «خوب» در نمونه، یک «آماره» است.

مقیاس‌های اندازه‌گیری

داده‌ها را به دو گروه کمّی و کیفی تقسیم کردیم. از نگاهی دیگر، می‌توان متغیرهای داده‌ها را در چهار مقیاس اندازه‌گیری دسته‌بندی کرد. اندازه‌گیری در تعریف به معنی ایجاد تفکیک بین افراد یا اشیا است. وقتی دو نوزاد دوقلو را نام‌گذاری می‌کنیم تا آنها را تفکیک کنیم، در واقع اندازه‌گیری کرده‌ایم. بسته به دقتی که این اندازه‌گیری صورت می‌گیرد آن‌را به چهار مقیاس اسمی، ترتیبی، فاصله‌ای و نسبتی تقسیم می‌کنیم. هدف از شناسایی این مقیاس‌ها تعیین نوع محاسبهٔ مناسب برای داده‌ها است؛ نظیر ترتیب، محاسبهٔ اختلاف و نسبت گرفتن.

اگر فقط یک متغیر از داده‌ها اندازه‌گیری شده باشد، به‌جای ذکر «مقیاس متغیر» از واژهٔ «مقیاس داده‌ها» استفاده می‌کنند.

آمار چیست؟

علوم تجربی نظیر کشاورزی و پزشکی نیازهای اساسی بشر را رفع می‌کنند. در این علوم، یقین کامل برای حل مسئله وجود ندارد، بسیار کاربردی‌اند و مورد استفاده قرار می‌گیرند. یک پزشک معمولاً به‌صورت دقیق بیماری را تشخیص نمی‌دهد و داروی بیماری نیز به همین وضع دچار است. ولی پزشک بر اساس تجربه حکم به بیماری می‌دهد و دارو تجویز می‌کند و در اکثر مواقع نیز نتیجه می‌گیرد. از سوی دیگر در علوم ریاضی روابط به‌صورت صد درصد حاکم هستند و هیچ شک و شبهه‌ای به آن راه ندارد.

وجود رابطه بین برخی پدیده‌ها در علوم تجربی باعث کشف حقایقی است که موجب پیشرفت آنها می‌شود. معمولاً روابط حاکم بر علوم تجربی را نمی‌توان به‌صورت ریاضی بیان کرد. علم آمار راهی برای بیان ریاضی چنین پدیده‌هایی است.